Толстые хвосты: как часто рынок выходит за три сигмы

Если считать дневные доходности нормально распределёнными, день за пределами трёх стандартных отклонений должен случаться примерно раз в год. Мы посчитали фактическую частоту на 518 дневных барах двенадцати пар — она оказалась выше в четыре с лишним раза.

Толстые хвосты распределения: что именно считали

Для каждой пары взяли дневные доходности по закрытиям, посчитали среднее и стандартное отклонение, затем долю дней, отклонившихся от среднего более чем на два, три и четыре отклонения. Нормальное распределение предсказывает 4,6% для двух сигм, 0,27% для трёх и 0,006% для четырёх — с этими числами и сравниваем.

Цифры замера

• Доля дней за пределами ±2σ: 5.22% (нормальное распределение предсказывает 4,6%)
• Доля дней за пределами ±3σ: 1.16% (предсказано 0,27%) — в медиане около 6 дней на пару
• Дней за пределами ±4σ по всем парам: 18
• Максимальное наблюдённое отклонение: 8.7σ (AUDUSD)

Замер по 518 дневным барам каждой из 12 валютных пар. Выборка открыта, методика — в разделе «Как мы считаем бэктесты», расчёт воспроизводится скриптом из репозитория.

Разница в четыре раза — не мелочь

На двух сигмах фактическая частота близка к теоретической: 5.22% против 4,6%. А вот на трёх расхождение принципиальное: 1.16% против 0,27%, то есть больше чем вчетверо. За четырьмя сигмами по всем парам набралось 18 дней, хотя нормальное распределение на такой выборке не предсказывает почти ни одного. Максимальное наблюдённое отклонение — 8.7 сигмы на AUDUSD, и вероятность такого события по нормальному закону не отличима от нуля.

Что это меняет в расчёте риска

Любая формула, опирающаяся на нормальность, недооценивает крайние события. Это касается оценки максимальной просадки, расчёта требуемой маржи и любых выводов вида «такое случается раз в сто лет». Практический вывод не в том, чтобы заменить одно распределение другим, а в том, чтобы не строить решения на предположении, будто редкие события действительно редки.

Как это выглядит на практике

Три следствия. Стоп, рассчитанный как кратное обычной волатильности, будет пробит проскальзыванием чаще, чем следует из модели. Загрузка счёта, кажущаяся безопасной при нормальном распределении, оставляет слишком мало запаса под хвостовой день. И размер позиции разумно считать от сценария плохого дня, а не от медианного.

Ограничения замера

Выборка — 518 баров, около двух лет. Для хвостов это мало по определению: редкие события редки, и их частота на короткой выборке сама оценивается с большой погрешностью. Направление вывода при этом устойчиво — расхождение с нормальным законом слишком велико, чтобы объясняться шумом, — но конкретные проценты стоит читать как порядок величины. Подробнее о том, почему это принципиально, в разборе размера выборки.

Материал носит образовательный характер и не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией. Результаты тестирования на исторических данных не гарантируют аналогичных результатов в будущем. Торговля на форексе сопряжена с риском потери капитала.

Частые вопросы